复习提问

①n边形的内角和是多少？

生：（n－2）·180°。

②什么叫三角形的外角？

生：三角形的一边和这个顶点的另一边的延长线所组成的图形叫做三角形的外角。

③一个三角形有多少个外角？理由。

生：有6个，每个顶点处有两个外角，共6个。（师：每个顶点处的两个外角是相等的）。

④什么叫三角形的外角和？

生：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和。

新课过程

（人教新课标七下，以后同）在P83页中已有题：如图，∠BAE，∠FBC，∠ACD是三角形的外角，你能利用三角形的内角和求出三角形的外角和吗？

师：谁来说一说如何证明？

生：利用∠CAE，∠ABF，∠BCD是平角，∠CAE＋∠ABF＋∠BCD＝540°，又因为∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°（三角形的内角和为180°），∴∠EAB＋∠FBC＋∠ACD＝360°。

师：这个证法很好，我们还可以利用三角形的一个外角等于和不它不相邻的两个内角之和，同学们下来还可以去想想，现在请大家用语言来总结这个结论。

生：三角形的外角和为360°。

师：刚才我们定义了三角形的外角和，你能定义多边形的外角和吗？

生：在多边形的每一个顶点处取一个外角，它们之和就叫做多边形的外角和。

师：同学们有当数学家的天赋，我们的数学家也是这样定义的。现在我们要探究多边形的外角和，先看简单的，求一个四边形的外角和，如图所示，应如何进行？

生：四边形的每一个顶点处的一个外角加上相邻的内角为180°，有四个顶点，总和为4×180°＝720°，又因为四边形的内角和为（4－2）×180°＝360°，所以外角和为720°－360°＝360°。

师：完全正确，同学们根据刚才的证明三角形的外角和的思路来证明四边形的外角和，很不错的。有何结论？

生：四边形的外角和为360°。

师：现在请同学们看书：P88（内容如下）

师：有何结论？

生：六边形外角和为360°。

师：根据我们刚才的三个结论？你有何猜想？

生：多边形的外角和为360°。

师：这个想法很好的，也就是不管其边数为多少（n≥3），其外角和为360°，是不变的。要证明了才能把猜想变成真理，请思考如何证明？

设边数为n（n≥3）。

请大家动笔在草稿本上算算。（给学生几分钟思考的时间）

生：n边形有n个顶点，每个顶点处的一个外角与其相邻的内角之和为180°，有n个180°，这些角的总和为：180°n，n边形的内角和为（n－2）?180°，所以n边形的外角和为：180°n－（n－2）·180°＝360°。

师：很好的，现在我们证明了我们的猜想。得到结论，谁来总结一下？

生：定理：n（n≥3）边形的外角和为360°。

师：这个定理很美，不管其边数怎样变化，其外角和是不变的。这是我们通过计算得来的，应该还能通过其它的角度让我们认识得更清楚一点，如图所示，通过作这样的辅助线您能证明吗？

把AB平移到CG的位置。

（学生思考几分钟）

生：∵CG是由AB平移得来的，

∴AB∥CG

∴∠EAB＝∠ACG。

∠DCG＝∠DBF

∴∠DCA＋∠EAB＋∠FBD＝∠DCA＋∠ACG＋∠GCD＝360°

师：很好，可以这样想的，把三角形缩成一个点，其外角刚好围成一个圆，当然是360°了。

再看一看四边形，也能这样吗？

师：过C作CK∥DE，CM∥AF，看其中的相同颜色的弧所在的角……

生：有∠HDA＝∠DCK，∠EAL＝∠KLB＝∠KCM，∠FBG＝∠GCM。

把这些外角移在一起，刚好围成一个圆。

师：回答正确，也可以这样理解，把四边形缩成一个点，其外角和刚好围成一个圆，当然外角和不变了。

师：更多的边数呢？

生（兴奋的）：一样的，先把多边形缩成一个点，其外角和刚好围成一个圆，当然是360°，不管其边数怎样变化，其外角和不变。

师：是这样的，还可以这样理解，一个人面向CD，沿着CA前进时，方向改变为∠DCA，沿AB前进，其方向改变为∠EAB，也就是∠ACG的大小，再AB方转向CD时，方向改变量的大小是∠DCG，此时回到CD方向，刚好转了一圈，是360°。四边形也可以这样理解吗？

生：假设面向CG，面向CH，转动∠HCG，面向DE再转∠HCK，面向AB，再转∠KCM，最后转∠MCG回到出发的位置。刚好转了一圈，因此是外角和是360°。

师：再换种理解方法，假设一人从A出发，经过各个顶点。然后回到出发的A点，这个人所转过的角的和恰好是一这个多边形的外角和。由于刚好转了一圈回到出发点，因此其外角和是360°。请大家看书，P89页内容。如下：

……

（下课铃打响了）

师：请大家回家思考一下，多边形的内角中最多有几个锐角，下节课我们一起探讨？